Упр.32.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3 — 2i, и разностью, равной -1 + i. a) Составьте формулу n-го члена прогрессии; б) найдите значение 15-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.
Дана арифметическая прогрессия с первым членом $$a_1=3-2i$$ и разностью $$d=-1+i$$.
Найдём формулу $$n$$-го члена:
$$ a_n=a_1+d(n-1) $$
$$ a_n=3-2i+(-1+i)(n-1) $$
$$ a_n=3-2i-n+1+in-i=(4-n)+(n-3)i $$
Найдём $$15$$-й член:
$$ a_{15}=a_1+14d=(3-2i)+14(-1+i) $$
$$ a_{15}=3-2i-14+14i=-11+12i $$
Найдём сумму первых $$20$$ членов:
$$ S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20 $$
$$ S_{20}=\frac{2(3-2i)+19(-1+i)}{2}\cdot 20 $$
$$ S_{20}=\frac{6-4i-19+19i}{2}\cdot 20=\frac{-13+15i}{2}\cdot 20 $$
$$ S_{20}=(-13+15i)\cdot 10=-130+150i $$
Найдём сумму членов с $$10$$-го по $$40$$-й:
$$ S_{10-40}=S_{40}-S_9 $$
$$ S_9=\frac{2a_1+d(9-1)}{2}\cdot 9=\frac{2(3-2i)+8(-1+i)}{2}\cdot 9 $$
$$ S_9=\frac{6-4i-8+8i}{2}\cdot 9=\frac{-2+4i}{2}\cdot 9=(-1+2i)\cdot 9=-9+18i $$
$$ S_{40}=\frac{2a_1+d(40-1)}{2}\cdot 40=\frac{2(3-2i)+39(-1+i)}{2}\cdot 40 $$
$$ S_{40}=\frac{6-4i-39+39i}{2}\cdot 40=\frac{-33+35i}{2}\cdot 40=(-33+35i)\cdot 20=-660+700i $$
$$ S_{10-40}=(-660+700i)-(-9+18i)=-651+682i $$
Ответ
$$a_n=(4-n)+(n-3)i,$$ $$a_{15}=-11+12i,$$ $$S_{20}=-130+150i,$$ $$S_{10-40}=-651+682i.$$
