Упр.31.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 8 sin6 х + 3 cos 2х + 2 cos 4х + 1 = 0.

Преобразуем уравнение, используя формулы $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ и $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$:

$$ 8\sin^6 x+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0 $$

$$ 8\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^3+3\cos 2x+2(2\cos^2 2x-1)+1=0 $$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда получаем:

$$ (1-y)^3+3y+4y^2-1=0 $$

$$ 1-3y+3y^2-y^3+3y+4y^2-1=0 $$

$$ -y^3+7y^2=0 $$

$$ y^2(7-y)=0 $$

Отсюда:

$$ y=0 \quad \text{или} \quad y=7 $$

Но $$y=\cos 2x$$, а значит $$\cos 2x=7$$ решений не имеет, так как $$|\cos 2x|\le 1$$.

Остаётся:

$$ \cos 2x=0 $$

$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$