Упр.31.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: tg (x — 15°) ctg (x + 15°) = 1/3

Преобразуем левую часть, используя формулы

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \ctg \beta=\frac{\cos \beta}{\sin \beta}.$$

Тогда

$$\tg(x-15^\circ)\ctg(x+15^\circ)=\frac{\sin(x-15^\circ)\cos(x+15^\circ)}{\cos(x-15^\circ)\sin(x+15^\circ)}=\frac13.$$

Применим формулы суммы и разности:

$$\sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr),$$

$$\cos A\sin B=\frac12\bigl(\sin(A+B)-\sin(A-B)\bigr).$$

Тогда

$$\frac{\sin 2x-\sin 30^\circ}{\sin 2x+\sin 30^\circ}=\frac13.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем

$$\frac{\sin 2x-\frac12}{\sin 2x+\frac12}=\frac13.$$

Решим уравнение:

$$3\left(\sin 2x-\frac12\right)=\sin 2x+\frac12,$$

$$3\sin 2x-\frac32=\sin 2x+\frac12,$$

$$2\sin 2x=2,$$

$$\sin 2x=1.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

В градусах это

$$x=45^\circ+180^\circ n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=45^\circ+180^\circ n,\quad n\in\mathbb Z.$$