Упр.31.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 x/2 + sin2 х + sin2 5x/2 + sin2 2x = 2; б) cos2 х + cos2 2х + cos2 3x + cos2 4x = 2.

1. а)

   $$\sin^2 \frac{x}{2}+\sin^2 x+\sin^2 \frac{5x}{2}+\sin^2 2x=2$$

   Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

   $$ \frac{1-\cos x}{2}+\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 5x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=2 $$
   $$ \cos x+\cos 2x+\cos 4x+\cos 5x=0 $$

   Сгруппируем:
   $$ (\cos 5x+\cos x)+(\cos 4x+\cos 2x)=0 $$

   Применим формулу суммы косинусов:
   $$ 2\cos 3x\cos 2x+2\cos 3x\cos x=0 $$
   $$ 2\cos 3x(\cos 2x+\cos x)=0 $$
   $$ 2\cos 3x\cdot 2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0 $$
   $$ 4\cos 3x\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0 $$

   Отсюда:
   $$ \cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0 $$

   Тогда
   $$ x=\frac{\pi(1+2n)}{6}, \quad x=\frac{\pi(1+2n)}{3}, \quad x=\pi(1+2n), \quad n\in \mathbb{Z}. $$

2. б)

   $$\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cos^2 4x=2$$

   Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

   $$ \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=2 $$
   $$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0 $$

   Сгруппируем:
   $$ (\cos 8x+\cos 2x)+(\cos 6x+\cos 4x)=0 $$

   Тогда
   $$ 2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=0 $$
   $$ 2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=0 $$
   $$ 2\cos 5x\cdot 2\cos 2x\cos x=0 $$
   $$ 4\cos 5x\cos 2x\cos x=0 $$

   Отсюда:
   $$ \cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 $$

   Следовательно,
   $$ x=\frac{\pi(1+2n)}{10}, \quad x=\frac{\pi(1+2n)}{4}, \quad x=\frac{\pi(1+2n)}{2}, \quad n\in \mathbb{Z}. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi(1+2n)}{6},\ \frac{\pi(1+2n)}{3},\ \pi(1+2n),\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi(1+2n)}{10},\ \frac{\pi(1+2n)}{4},\ \frac{\pi(1+2n)}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$