Упр.31.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 х + sin2 2x + sin2 Sx = 1,5; б) cos2 2x + cos2 4x + cos2 6x = 1,5.

а) Преобразуем сумму квадратов синусов по формуле $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

$$ \sin^2 x+\sin^2 2x+\sin^2 3x=1{,}5 $$
$$ \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1{,}5 $$
$$ 3-\cos 2x-\cos 4x-\cos 6x=3 $$
$$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0 $$

Используем формулу суммы косинусов:

$$ \cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x $$

Тогда

$$ 2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0 $$
$$ \cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0 $$

Отсюда:

$$ \cos 4x=0 $$
или
$$ 2\cos 2x+1=0 $$

1) Если $$\cos 4x=0$$, то

$$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} $$

2) Если $$2\cos 2x+1=0$$, то

$$ \cos 2x=-\frac12 $$
$$ 2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n $$

б) Аналогично:

$$ \cos^2 2x+\cos^2 4x+\cos^2 6x=1{,}5 $$
$$ \frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}+\frac{1+\cos 12x}{2}=1{,}5 $$
$$ 3+\cos 4x+\cos 8x+\cos 12x=3 $$
$$ \cos 4x+\cos 8x+\cos 12x=0 $$

$$ \cos 4x+\cos 12x=2\cos 8x\cos 4x $$

Тогда

$$ 2\cos 8x\cos 4x+\cos 8x=0 $$
$$ \cos 8x\,(2\cos 4x+1)=0 $$

Отсюда:

$$ \cos 8x=0 $$
или
$$ 2\cos 4x+1=0 $$

1) Если $$\cos 8x=0$$, то

$$ 8x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8} $$

2) Если $$2\cos 4x+1=0$$, то

$$ \cos 4x=-\frac12 $$
$$ 4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2} $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\; x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$