Упр.31.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$\sqrt{a\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$
Подставим $$x=0$$. Тогда
$$\sqrt{a\cos 0-3\sin 0}=\cos 0,$$
$$\sqrt{a}=1,$$
откуда $$a=1.$$
Получаем уравнение
$$\sqrt{\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\cos 2x-3\sin 2x=\cos^2 x.$$
Используем формулы $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$\cos^2 x-\sin^2 x-6\sin x\cos x=\cos^2 x,$$
$$\sin^2 x+6\sin x\cos x=0,$$
$$\sin x(\sin x+6\cos x)=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+6\cos x=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$
Проверка в исходном уравнении даёт условие $$\cos x\ge 0,$$ значит подходят только
$$x=2\pi n.$$
2) $$\sin x+6\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-6,$$
$$x=-\arctg 6+\pi n.$$
Проверка условия $$\cos x\ge 0$$ оставляет
$$x=-\arctg 6+2\pi n.$$
$$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}+\sin x=0.$$
Подставим $$x=-\frac{\pi}{2}$$. Тогда
$$\sqrt{2\sin(-\pi)-a\cos(-\pi)}+\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$
$$\sqrt{a}-1=0,$$
откуда $$a=1.$$
Получаем уравнение
$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2\sin 2x-\cos 2x=\sin^2 x.$$
Подставим $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$4\sin x\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)=\sin^2 x,$$
$$4\sin x\cos x-\cos^2 x=0,$$
$$\cos x(4\sin x-\cos x)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4\sin x-\cos x=0.$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Проверка условия $$-\sin x\ge 0$$ даёт
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
2) $$4\sin x-\cos x=0 \Rightarrow \tg x=\frac14,$$
$$x=\arctg\frac14+\pi n.$$
С учётом условия $$-\sin x\ge 0$$ получаем
$$x=\pi+\arctg\frac14+2\pi n.$$