Упр.31.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Дано уравнение с параметром a: корень(a cos 2х — 3sin 2х) = cos х. Известно, что х = 0 является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни. б) Дано уравнение с параметром a: корень(2sin 2х — a cos 2х) + sin х = 0. Известно, что х = -пи/2 является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

а) Пусть

$$\sqrt{a\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$

Так как $$x=0$$ — корень уравнения, подставим это значение:

$$\sqrt{a\cos 0-3\sin 0}=\cos 0,$$

$$\sqrt{a}=1,$$

$$a=1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\cos 2x-3\sin 2x=\cos^2 x.$$

Используем формулы $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\cos^2 x-\sin^2 x-6\sin x\cos x=\cos^2 x,$$

$$-\sin^2 x-6\sin x\cos x=0,$$

$$\sin x(\sin x+6\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+6\cos x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

Из них $$x=0$$ уже известен, поэтому остальные корни:

$$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z,\; n\ne 0.$$

2) $$\sin x+6\cos x=0 \Rightarrow \tan x=-6,$$

$$x=\arctan(-6)+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Проверка показывает, что эти значения удовлетворяют исходному уравнению при $$a=1$$.

б) Пусть

$$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}+\sin x=0.$$

Так как $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ — корень, подставим это значение:

$$\sqrt{2\sin(-\pi)-a\cos(-\pi)}+\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

$$\sqrt{0-a(-1)}-1=0,$$

$$\sqrt{a}=1,$$

$$a=1.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}+\sin x=0.$$

Перенесём $$\sin x$$:

$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$

Правая часть неотрицательна, значит $$\sin x\le 0$$. Возведём в квадрат:

$$2\sin 2x-\cos 2x=\sin^2 x.$$

Подставим $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$4\sin x\cos x-(1-2\sin^2 x)=\sin^2 x,$$

$$4\sin x\cos x+\sin^2 x-1=0.$$

Используем $$1-\sin^2 x=\cos^2 x$$:

$$4\sin x\cos x=\cos^2 x,$$

$$\cos x(4\sin x-\cos x)=0.$$

Отсюда:

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$

С учётом условия $$\sin x\le 0$$ подходит только

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$4\sin x-\cos x=0 \Rightarrow \tan x=\dfrac14,$$

но здесь $$\sin x>0$$, поэтому это решение не подходит из-за условия $$-\sin x\ge 0$$.

Значит, остаются только корни

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$a=1$$, остальные корни: $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,\; n\ne 0$$ и $$x=\arctan(-6)+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$a=1$$, остальные корни: $$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,\; n\ne 0.$$