Упр.31.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: tg (пи x)/(1 + x2) + sin (2пи x)/(1 + x2) = 2

Используем формулу

$$\sin 2t=\frac{2\tg t}{1+\tg^2 t}.$$

Пусть

$$y=\tg\frac{\pi x}{1+x^2}.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид

$$y+\frac{2y}{1+y^2}=2.$$

Умножим на $$1+y^2$$:

$$y(1+y^2)+2y=2(1+y^2),$$

$$y^3-2y^2+3y-2=0.$$

Разложим на множители:

$$y^3-2y^2+3y-2=(y-1)(y^2-y+2).$$

Отсюда

$$y=1$$

или

$$y^2-y+2=0.$$

Для второго уравнения

$$D=1-8=-7<0,$$

значит, действительных корней нет. Поэтому

$$\tg\frac{\pi x}{1+x^2}=1.$$

Тогда

$$\frac{\pi x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$\frac{x}{1+x^2}=\frac14+n.$$

Так как

$$\left|\frac{x}{1+x^2}\right|\le \frac12,$$

то возможно только $$n=0$$. Получаем

$$\frac{x}{1+x^2}=\frac14.$$

Тогда

$$4x=1+x^2,$$

$$x^2-4x+1=0.$$

Находим корни:

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt3.$$

Ответ

$$2-\sqrt3,\;2+\sqrt3$$