Упр.31.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) корень(sin 7х — sin 5х) = кореньsin x; б) корень(cos 5х + cos х — sin 5х) = кореньsin x.

а) Область определения: $$\sin x \ge 0.$$

Возведём уравнение в квадрат:

$$ \sqrt{\sin 7x-\sin 5x}=\sqrt{\sin x} \;\Longrightarrow\; \sin 7x-\sin 5x=\sin x. $$

Используем формулу разности синусов:

$$ \sin 7x-\sin 5x=2\cos 6x\sin x. $$

Тогда

$$ 2\cos 6x\sin x=\sin x \;\Longrightarrow\; \sin x\,(2\cos 6x-1)=0. $$

Отсюда:

$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 6x-1=0. $$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 6x=\frac12.$$

Тогда

$$ 6x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \qquad x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}. $$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ остаются значения:

$$ x=\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{5\pi}{18}+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{7\pi}{18}+\pi n. $$

б) Область определения: $$\sin x \ge 0.$$

Возведём уравнение в квадрат:

$$ \sqrt{\cos 5x+\cos x-\sin 5x}=\sqrt{\sin x} \;\Longrightarrow\; \cos 5x+\cos x-\sin 5x=\sin x. $$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$ \cos 5x+\cos x=\sin 5x+\sin x. $$

Используем формулы суммы в произведение:

$$ 2\cos 3x\cos 2x=2\sin 3x\cos 2x. $$

Тогда

$$ 2\cos 2x\,(\cos 3x-\sin 3x)=0. $$

Следовательно,

$$ \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x-\sin 3x=0. $$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos 3x-\sin 3x=0 \Rightarrow \tan 3x=1,$$

откуда

$$ 3x=\frac{\pi}{4}+\pi n, \qquad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}. $$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ получаем:

$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n. $$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{5\pi}{18}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{7\pi}{18}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\; x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$