Упр.31.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: кореньcos 2x + корень(l + sin 2x) = 2корень(sin x + cos x).

Преобразуем уравнение:

$$\sqrt{\cos 2x}+\sqrt{1+\sin 2x}=2\sqrt{\sin x+\cos x}.$$

Используем формулы:

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$

$$1+\sin 2x=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)}+\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}=2\sqrt{\sin x+\cos x}.$$

Так как $$\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}=|\sin x+\cos x|,$$ а подкоренное выражение справа неотрицательно, получаем

$$\sqrt{(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)}+\sin x+\cos x=2\sqrt{\sin x+\cos x}.$$

Обозначим $$t=\sqrt{\sin x+\cos x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$\sin x+\cos x=t^2.$$ После преобразований получаем уравнение

$$\cos^2 x+4\cos x-5=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$y^2+4y-5=0,$$

$$D=4^2+4\cdot 5=36,$$

$$y_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-4+6}{2}=1.$$

Значение $$\cos x=-5$$ невозможно, так как $$|\cos x|\le 1.$$

Остаётся

$$\cos x=1,$$

откуда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка: при $$x=2\pi n$$ имеем $$\sin x=0,$$ $$\cos x=1,$$ и исходное уравнение выполняется.

Ответ

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$