Упр.31.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (ctg x/2 — 2/3sin x) корень(4x — x2 + 5) = 0; б) (2 sin 2x — tg x) корень(2 — x — x2) = 0.

а) $$\left(\ctg \frac{x}{2}-\frac{2}{3}\sin x\right)\sqrt{4x-x^2+5}=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, при этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$4x-x^2+5\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2-4x-5\le 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -1\le x\le 5.$$

1) $$\ctg \frac{x}{2}-\frac{2}{3}\sin x=0.$$

Используем формулу

$$\ctg \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}.$$

Тогда

$$\frac{1+\cos x}{\sin x}-\frac{2}{3}\sin x=0,$$

$$3(1+\cos x)-2\sin^2 x=0,$$

$$3+3\cos x-2(1-\cos^2 x)=0,$$

$$2\cos^2 x+3\cos x+1=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+3y+1=0,$$

$$D=9-8=1,$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=-\frac12.$$

Следовательно,

$$\cos x=-1 \;\;\Longrightarrow\;\; x=\pi+2\pi n,$$

$$\cos x=-\frac12 \;\;\Longrightarrow\;\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

С учётом $$-1\le x\le 5$$ получаем:

$$x=-1,\; \frac{2\pi}{3},\; \pi,\; \frac{4\pi}{3},\; 5.$$

2) $$\sqrt{4x-x^2+5}=0.$$

Тогда

$$4x-x^2+5=0,$$

$$x^2-4x-5=0,$$

$$x=-1,\; 5.$$

Они уже входят в найденный набор.

б) $$\left(2\sin 2x-\tg x\right)\sqrt{2-x-x^2}=0$$

Область допустимых значений:

$$2-x-x^2\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2+x-2\le 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -2\le x\le 1.$$

1) $$2\sin 2x-\tg x=0.$$

Используем формулу

$$\tg x=\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}.$$

Тогда

$$2\sin 2x-\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=0,$$

$$2\sin^2 2x-1+\cos 2x=0,$$

$$2(1-\cos^2 2x)-1+\cos 2x=0,$$

$$2\cos^2 2x-\cos 2x-1=0.$$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0,$$

$$D=9,$$

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=1.$$

Значит,

$$\cos 2x=-\frac12 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \;\;\Longrightarrow\;\; x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,$$

$$\cos 2x=1 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x=2\pi n \;\;\Longrightarrow\;\; x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

С учётом $$-2\le x\le 1$$ получаем:

$$x=-2,\; -\frac{\pi}{3},\; 0,\; 1.$$

2) $$\sqrt{2-x-x^2}=0.$$

Тогда

$$2-x-x^2=0,$$

$$x^2+x-2=0,$$

$$x=-2,\; 1.$$

Они уже входят в найденный набор.

Ответ

а) $$-1,\; \frac{2\pi}{3},\; \pi,\; \frac{4\pi}{3},\; 5.$$

б) $$-2,\; -\frac{\pi}{3},\; 0,\; 1.$$