Упр.31.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) корень(25 — 4х2) (3 sin 2пи x + 8 sin пи x) = 0; б) корень(49 — 4×2) (sin пи x + 3cos (пи x)/2) = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим произведение
$$\sqrt{25-4x^2}\,(3\sin 2\pi x+8\sin \pi x)=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
1) $$\sqrt{25-4x^2}=0$$
$$25-4x^2=0,$$
$$4x^2=25,$$
$$x=\pm \frac52.$$
2) $$3\sin 2\pi x+8\sin \pi x=0.$$
Используем формулу $$\sin 2\pi x=2\sin \pi x\cos \pi x$$:
$$6\sin \pi x\cos \pi x+8\sin \pi x=0,$$
$$2\sin \pi x\,(3\cos \pi x+4)=0.$$
Отсюда
$$\sin \pi x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos \pi x+4=0.$$
Уравнение $$3\cos \pi x+4=0$$ не имеет корней, так как $$\cos \pi x=-\frac43$$ невозможно.
Значит,
$$\sin \pi x=0,$$
$$\pi x=\pi n,\quad x=n,\quad n\in \mathbb Z.$$
Область определения: $$25-4x^2\ge 0,$$ то есть
$$-\frac52\le x\le \frac52.$$
Следовательно, подходят целые значения $$x=-2,-1,0,1,2$$ и значения $$x=\pm \frac52.$$
б) Рассмотрим произведение
$$\sqrt{49-4x^2}\left(\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}\right)=0.$$
1) $$\sqrt{49-4x^2}=0$$
$$49-4x^2=0,$$
$$4x^2=49,$$
$$x=\pm \frac72.$$
2) $$\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}=0.$$
Используем формулу $$\sin \pi x=2\sin \frac{\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}$$:
$$2\sin \frac{\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}+3\cos \frac{\pi x}{2}=0,$$
$$\cos \frac{\pi x}{2}\left(2\sin \frac{\pi x}{2}+3\right)=0.$$
Отсюда
$$\cos \frac{\pi x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 2\sin \frac{\pi x}{2}+3=0.$$
Уравнение $$2\sin \frac{\pi x}{2}+3=0$$ не имеет корней, так как $$\sin \frac{\pi x}{2}=-\frac32$$ невозможно.
Значит,
$$\cos \frac{\pi x}{2}=0,$$
$$\frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=1+2n,\quad n\in \mathbb Z.$$
Область определения: $$49-4x^2\ge 0,$$ то есть
$$-\frac72\le x\le \frac72.$$
Следовательно, подходят $$x=-3,-1,1,3$$ и значения $$x=\pm \frac72.$$