Упр.31.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: корень(9-2) (sin 2x — 3 cos x) = 0.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{9-x^2}\,(\sin 2x-3\cos x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{9-x^2}=0.$$ Тогда

$$9-x^2=0,$$

$$x^2=9,$$

$$x=\pm 3.$$

2) $$\sin 2x-3\cos x=0.$$ Преобразуем:

$$2\sin x\cos x-3\cos x=0,$$

$$\cos x(2\sin x-3)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-3=0.$$

Если $$\cos x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$2\sin x-3=0,$$ то

$$\sin x=\frac{3}{2},$$

что невозможно, так как $$|\sin x|\le 1.$$

Теперь учтём область определения корня:

$$9-x^2\ge 0,$$

$$-3\le x\le 3.$$

Из найденных значений этому условию удовлетворяют $$x=\pm 3$$ и $$x=\pm \frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$x=\pm 3,\ \pm \frac{\pi}{2}.$$