Упр.31.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: cos 2x — 3 cos x + 1 = 1 / ((ctg 2x — ctg X) sin (x-пи)).

Подробный ответ

Преобразуем знаменатель правой части:

$$ (\ctg 2x-\ctg x)\sin(x-\pi) = \left(\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)(-\sin x) $$

$$ = -\frac{\cos 2x\sin x-\cos x\sin 2x}{\sin 2x\sin x} = -\frac{\sin(x-2x)}{\sin 2x} = \frac{\sin x}{\sin 2x} = \frac{1}{2\cos x}. $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ \cos 2x-3\cos x+1=2\cos x. $$

$$ \cos 2x-5\cos x+1=0. $$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$ 2\cos^2 x-1-5\cos x+1=0 $$

$$ 2\cos^2 x-5\cos x=0 $$

$$ \cos x(2\cos x-5)=0. $$

Отсюда:

$$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac52. $$

Значение $$\cos x=\frac52$$ невозможно, значит остаётся $$\cos x=0$$. Но при этом правая часть исходного уравнения не определена, так как в знаменателе получается нуль. Следовательно, найденное значение не подходит.

Проверим область допустимых значений: исходное выражение имеет смысл только при $$\sin x\ne 0$$ и $$\cos x\ne 0$$.

Так как единственное формально полученное решение $$\cos x=0$$ не входит в ОДЗ, уравнение не имеет решений.