Упр.31.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 cos2 5х + cos 3x = 1; 6) sin 5x + sin x + 2 cos2 x = 1.

а)

$$2\cos^2 5x+\cos 3x=1$$
$$2\cdot \frac{1+\cos 10x}{2}+\cos 3x=1$$
$$1+\cos 10x+\cos 3x=1$$
$$\cos 10x+\cos 3x=0$$
$$2\cos \frac{10x+3x}{2}\cos \frac{10x-3x}{2}=0$$
$$2\cos \frac{13x}{2}\cos \frac{7x}{2}=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{13x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{7x}{2}=0$$

$$\frac{13x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{13}+\frac{2\pi n}{13}$$

$$\frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7}$$

б)

$$\sin 5x+\sin x+2\cos^2 x=1$$
$$2\sin 3x\cos 2x+2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=1$$
$$2\sin 3x\cos 2x+\cos 2x+1=1$$
$$\cos 2x\,(2\sin 3x+1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 3x+1=0$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

$$\sin 3x=-\frac12$$
$$3x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{13}+\frac{2\pi n}{13},\; x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\; n\in \mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb{Z}$$