Упр.31.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: cos 2x (1 — 3/4 sin2 2x) = 1

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\cos 2x\left(1-\frac{3}{4}\sin^2 2x\right)=1.$$

Так как $$\cos 2x\le 1$$ и $$1-\frac{3}{4}\sin^2 2x\le 1,$$ то левая часть не превосходит $$1.$$

Чтобы произведение двух множителей, каждый из которых не больше $$1,$$ было равно $$1,$$ необходимо, чтобы оба множителя были равны $$1.$$ Тогда получаем систему:

$$ \begin{cases} \cos 2x=1,\\ 1-\frac{3}{4}\sin^2 2x=1. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$\sin^2 2x=0,$$

то есть

$$\sin 2x=0.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} \cos 2x=1,\\ \sin 2x=0. \end{cases} $$

Из $$\cos 2x=1$$ имеем

$$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Эти значения удовлетворяют и второму уравнению.