Упр.31.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: (sin x + корень3 cos x) sin 3x = 2.

Преобразуем левую часть, используя формулу

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\sin 3x=2,$$

или

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\sin 3x=1.$$

Применим формулу произведения в сумму:

$$2\sin 3x\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(3x+x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(3x-x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Получаем

$$\sin\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2.$$

Так как для любого аргумента $$\sin t\le 1,$$ то сумма двух синусов равна $$2$$ только тогда, когда

$$\sin\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)=1,\qquad \sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Решим второе уравнение:

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Проверим в первом уравнении:

$$4x-\frac{\pi}{6}=4\left(\frac{\pi}{6}+\pi n\right)-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+4\pi n,$$

значит, действительно

$$\sin\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$