Упр.31.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 6 tg x + 5 ctg 3x = tg 2x.

$$6\tg x+5\ctg 3x=\tg 2x.$$

Перенесём $$\tg x$$ в левую часть:

$$5(\tg x+\ctg 3x)=\tg 2x-\tg x.$$

Запишем через синус и косинус:

$$5\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 3x}{\sin 3x}\right)=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Приведём к общим знаменателям:

$$5\cdot \frac{\sin x\sin 3x+\cos 3x\cos x}{\cos x\sin 3x}=\frac{\sin 2x\cos x-\sin x\cos 2x}{\cos 2x\cos x}.$$

По формулам приведения получаем:

$$5\cdot \frac{\cos(3x-x)}{\sin 3x}=\frac{\sin(2x-x)}{\cos 2x},$$

то есть

$$5\frac{\cos 2x}{\sin 3x}=\frac{\sin x}{\cos 2x}.$$

Умножим на $$\sin 3x\cos 2x$$:

$$5\cos^2 2x=\sin x\sin 3x.$$

Используем формулу произведения:

$$\sin x\sin 3x=\frac{\cos(3x-x)-\cos(3x+x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$10\cos^2 2x=\cos 2x-\cos 4x.$$

Положим $$t=\cos 2x$$. Тогда $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1=2t^2-1$$, и получаем:

$$10t^2=t-(2t^2-1),$$

$$12t^2-t-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 12\cdot(-1)=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{24}.$$

Отсюда

$$t_1=-\frac14,\qquad t_2=\frac13.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\cos 2x=-\frac14 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pm \arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n,$$

$$\cos 2x=\frac13 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pm \arccos\left(\frac13\right)+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac12\arccos\left(\frac13\right)+\pi n,$$

$$n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n,\quad x=\pm \frac12\arccos\left(\frac13\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$