Упр.31.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 ctg 3х — 2 tg 3х — 4 tg 6x = 1; 6) ctg x — tg x — 2 tg 2x — 4 tg 4x = 8 tg 8x.

Используем формулу

$$\ctg x-\tg x=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{\cos 2x}{\frac12\sin 2x}=2\ctg 2x.$$

а)

$$2\ctg 3x-2\tg 3x-4\tg 6x=1$$

$$2(\ctg 3x-\tg 3x)-4\tg 6x=1$$

$$4\ctg 6x-4\tg 6x=1$$

$$4(\ctg 6x-\tg 6x)=1$$

$$8\ctg 12x=1$$

$$\ctg 12x=\frac18$$

$$\tg 12x=8$$

$$12x=\arctg 8+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{1}{12}\arctg 8+\frac{\pi n}{12},\quad n\in\mathbb Z$$

б)

$$\ctg x-\tg x-2\tg 2x-4\tg 4x=8\tg 8x$$

$$2\ctg 2x-2\tg 2x-4\tg 4x=8\tg 8x$$

$$4\ctg 4x-4\tg 4x-8\tg 8x=0$$

$$8\ctg 8x-8\tg 8x=0$$

$$16\ctg 16x=0$$

$$\ctg 16x=0$$

$$16x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{16},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{1}{12}\arctg 8+\frac{\pi n}{12},\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{16},\ n\in\mathbb Z$$