Упр.31.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (2 — sin х + cos 2х) / (6×2 — пиx — пи2) = 0; б) (6sin2 x — 6sin x + cos 2x + 1)/(12×2 — 8пиx + пи2) = 0.

Подробный ответ

а)

$$ \frac{2-\sin x+\cos 2x}{6x^2-\pi x-\pi^2}=0 $$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ 2-\sin x+\cos 2x=0 $$
$$ 2-\sin x+(1-2\sin^2 x)=0 $$
$$ 2\sin^2 x+\sin x-3=0 $$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$ 2y^2+y-3=0 $$
$$ D=1+24=25 $$
$$ y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-1+5}{4}=1 $$

Значение $$\sin x=-\frac32$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$.

При $$\sin x=1$$ получаем:

$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z $$

Проверим знаменатель:

$$ 6x^2-\pi x-\pi^2\ne 0 $$
$$ 6x^2-\pi x-\pi^2=0 $$
$$ D=\pi^2+24\pi^2=25\pi^2 $$
$$ x_1=\frac{\pi+5\pi}{12}=\frac{\pi}{2},\qquad x_2=\frac{\pi-5\pi}{12}=-\frac{\pi}{3} $$

Значит, $$x=\frac{\pi}{2}$$ исключаем, то есть $$n\ne 0$$.

б)

$$ \frac{6\sin^2 x-6\sin x+\cos 2x+1}{12x^2-8\pi x+\pi^2}=0 $$

Тогда

$$ 6\sin^2 x-6\sin x+\cos 2x+1=0 $$
$$ 6\sin^2 x-6\sin x+(1-2\sin^2 x)+1=0 $$
$$ 4\sin^2 x-6\sin x+2=0 $$
$$ 2\sin^2 x-3\sin x+1=0 $$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$ 2y^2-3y+1=0 $$
$$ (2y-1)(y-1)=0 $$
$$ y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1 $$

1) Если $$\sin x=\frac12$$, то

$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z $$

2) Если $$\sin x=1$$, то

$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z $$

Проверим знаменатель:

$$ 12x^2-8\pi x+\pi^2\ne 0 $$
$$ 12x^2-8\pi x+\pi^2=0 $$
$$ D=64\pi^2-48\pi^2=16\pi^2 $$
$$ x_1=\frac{8\pi-4\pi}{24}=\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\frac{8\pi+4\pi}{24}=\frac{\pi}{2} $$

Поэтому из первого семейства исключаем $$x=\frac{\pi}{6}$$, а из второго — $$x=\frac{\pi}{2}$$.