Упр.31.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: (cos2 X (1 + ctg X)) / (sin x — cos x) = 3cos x.
Преобразуем уравнение:
$$\frac{\cos^2 x\,(1+\ctg x)}{\sin x-\cos x}=3\cos x.$$
Перенесём всё в одну сторону и выразим $\ctg x$ через синус и косинус:
$$\cos^2 x\left(1+\frac{\cos x}{\sin x}\right)-3\cos x(\sin x-\cos x)=0.$$
Умножим на $$\sin x$$:
$$\cos^2 x(\sin x+\cos x)-3\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0.$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$\sin x\cos^2 x+\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x+3\sin x\cos^2 x=0,$$
$$\cos x\bigl(4\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x\bigr)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$4\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x=0.$$
Разделим на $$\cos^2 x$$ $$\bigl(\cos x\neq 0\bigr)$$:
$$4\tg x+1-3\tg^2 x=0,$$
$$3\tg^2 x-4\tg x-1=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=16+12=28,$$
$$\tg x=\frac{4\pm 2\sqrt7}{6}=\frac{2\pm \sqrt7}{3}.$$
Тогда
$$x=\arctg\frac{2+\sqrt7}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\arctg\frac{2-\sqrt7}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим область допустимых значений: выражение определено при $$\sin x-\cos x\neq 0,$$ то есть $$x\neq \frac{\pi}{4}+\pi n.$$ Полученные значения этому условию не противоречат.
Ответ
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\arctg\frac{2+\sqrt7}{3}+\pi n,\quad x=\arctg\frac{2-\sqrt7}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
