Упр.31.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: sin (x + пи/6) + cos (x + пи/3) = 1 + cos 2x.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы приведения и сумму косинусов:

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x $$
$$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x $$
$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x $$

Заменим правую часть по формуле $$1+\cos 2x=2\cos^2 x$$:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\cos^2 x $$

Применим формулу суммы косинусов:

$$ 2\cos\frac{\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{2}\cdot \cos\frac{\left(\frac{\pi}{3}-x\right)-\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{2}=2\cos^2 x $$
$$ 2\cos\frac{\pi}{3}\cdot \cos x=2\cos^2 x $$
$$ 2\cdot \frac12 \cos x=2\cos^2 x $$
$$ \cos x=2\cos^2 x $$
$$ 2\cos^2 x-\cos x=0 $$
$$ \cos x\,(2\cos x-1)=0 $$

Отсюда:

$$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0 $$
$$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12 $$

1) Если $$\cos x=0$$, то

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) Если $$\cos x=\frac12$$, то

$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$