Упр.31.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения cos 4х + (10 tg x)/(1 + tg2 x) = 3, принадлежащие отрезку [-2; 1,4].

Преобразуем уравнение:

$$\cos 4x+\frac{10\tg x}{1+\tg^2 x}=3.$$

Так как $$1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},$$ то

$$\frac{10\tg x}{1+\tg^2 x}=10\tg x\cos^2 x=10\sin x\cos x=5\sin 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos 4x+5\sin 2x=3.$$

Используем формулу $$\cos 4x=1-2\sin^2 2x$$ и обозначим $$t=\sin 2x$$:

$$1-2t^2+5t=3,$$

$$2t^2-5t+2=0,$$

$$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$

Отсюда

$$t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=2.$$

Но $$\sin 2x=2$$ невозможно, значит

$$\sin 2x=\frac12.$$

Тогда

$$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь отберём корни на отрезке $$[-2;1{,}4].$$

1) Для $$x=\frac{\pi}{12}+\pi n$$ получаем:

$$n=-1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}-\pi=-\frac{11\pi}{12},$$

$$n=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}.$$

Оба значения принадлежат отрезку.

2) Для $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi n$$ получаем:

$$n=-1 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{12}-\pi=-\frac{7\pi}{12},$$

$$n=0 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{12}.$$

Оба значения принадлежат отрезку.

Итак, на отрезке $$[-2;1{,}4]$$ получаем 4 корня.

Ответ

4