Упр.31.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: (cos2 x — cos x — sin2 x) / (1 — cos 2x — sin x) = 0.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

Тогда

$$\left(2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)\right)^2=2+2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

Обозначим

$$y=\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

Получаем квадратное уравнение:

$$4y^2=2+2y,$$

$$4y^2-2y-2=0,$$

$$2y^2-y-1=0.$$

Решим его:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Отсюда

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac12.$$

1) Если $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=1,$$ то

$$\frac{\pi}{6}-2x=2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n.$$

2) Если $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-\frac12,$$ то

$$\frac{\pi}{6}-2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{12}\mp \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Обе серии решений объединяются в одну формулу:

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Теперь найдём, сколько из этих корней удовлетворяют неравенству

$$\frac{x^2-x-12}{x^2+x+3}\le 0.$$

Так как

$$x^2+x+3>0$$

для всех $$x$$, то достаточно решить

$$x^2-x-12\le 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$

Тогда

$$-3\le x\le 4.$$

Подставим найденные корни:

$$-3\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\le 4.$$

Умножим на $$\frac{12}{\pi}$$:

$$-\frac{36}{\pi}\le 1+4n\le \frac{48}{\pi}.$$

Отсюда получаем целые значения $$n$$:

$$n=-3,-2,-1,0,1,2,3.$$

Итак, подходит 7 значений параметра $$n$$, значит, уравнение имеет 7 корней, удовлетворяющих неравенству.

Ответ

$$7$$