Упр.31.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: (sin 2x + корень3cos 2x)2 = 2 + 2 cos (пи/6 — 2x).

Используем формулу

$$\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}=\sin 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos 4x+5\sin 2x=3.$$

Преобразуем $$\cos 4x$$:

$$\cos 4x=1-2\sin^2 2x.$$

Получаем

$$1-2\sin^2 2x+5\sin 2x=3,$$

$$2\sin^2 2x-5\sin 2x+2=0.$$

Положим $$y=\sin 2x$$. Тогда

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Следовательно,

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=2.$$

Значение $$\sin 2x=2$$ невозможно, поэтому остаётся

$$\sin 2x=\frac12.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отбираем корни, принадлежащие отрезку $$[-2;1{,}4]$$:

при $$n=-1$$ получаем $$x=-\frac{7\pi}{12};$$

при $$n=0$$ получаем $$x=\frac{\pi}{12};$$

при $$n=1$$ получаем $$x=\frac{5\pi}{12}.$$

Другие значения $$n$$ дают числа вне заданного отрезка.

Ответ

$$-\frac{7\pi}{12};\ \frac{\pi}{12};\ \frac{5\pi}{12}.$$