Упр.31.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: sin x — 5 sin (7x + пи/6) = 4cos x.

Подробный ответ

Перепишем уравнение в виде

$$3\sin x-4\cos x=5\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Представим левую часть как одну синусоиду:

$$3\sin x-4\cos x=5\sin(x-t),$$

где

$$\cos t=\frac35,\qquad \sin t=\frac45,\qquad t=\arccos\frac35.$$

Тогда

$$5\sin(x-t)=5\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right),$$

или

$$\sin\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin(x-t)=0.$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\frac{\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)+(x-t)}{2}\sin\frac{\left(7x+\frac{\pi}{6}\right)-(x-t)}{2}=0,$$

то есть

$$2\cos\left(4x-\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(3x+\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0.$$

Отсюда получаем два случая.

$$\sin\left(3x+\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0,$$
$$3x+\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}=\pi n,$$
$$x=-\frac{t}{6}-\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos\left(4x-\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0,$$
$$4x-\frac{t}{2}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{t}{8}+\frac{5\pi}{48}+\frac{\pi n}{4},\qquad n\in\mathbb Z.$$