Упр.31.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3 cos (x + 1) — 4 sin (х + 1) = 5; б) 15 sin (2х — 3) + 8 cos (2х — 3) = 8,5.

а) $$3\cos(x+1)-4\sin(x+1)=5.$$

Представим левую часть в виде одной косинусоиды:

$$3\cos(x+1)-4\sin(x+1)=5\cos\left((x+1)+\arccos\frac35\right).$$

Тогда

$$5\cos\left((x+1)+\arccos\frac35\right)=5,$$

$$\cos\left((x+1)+\arccos\frac35\right)=1.$$

Следовательно,

$$x+1+\arccos\frac35=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=-1-\arccos\frac35+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$15\sin(2x-3)+8\cos(2x-3)=8{,}5.$$

Запишем левую часть в виде одной косинусоиды:

$$15\sin(2x-3)+8\cos(2x-3)=17\cos\left((2x-3)-\arccos\frac{8}{17}\right).$$

Тогда

$$17\cos\left((2x-3)-\arccos\frac{8}{17}\right)=8{,}5,$$

$$\cos\left((2x-3)-\arccos\frac{8}{17}\right)=\frac12.$$

Значит,

$$2x-3-\arccos\frac{8}{17}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac32+\frac12\arccos\frac{8}{17}\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-1-\arccos\frac35+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac32+\frac12\arccos\frac{8}{17}\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$