Упр.31.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: sin 5х + cos 5х = корень2 cos 13x.

Преобразуем левую часть к виду суммы косинусов:

$$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{2}\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos 13x.$$

Сократим на $$\sqrt{2}$$:

$$\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos 13x.$$

Используем формулу $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$:

$$\cos 13x-\cos\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

$$-2\sin\frac{13x+\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)}{2}\sin\frac{13x-\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)}{2}=0,$$

$$\sin\left(9x-\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(4x+\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

Отсюда получаем два уравнения:

$$\sin\left(4x+\frac{\pi}{8}\right)=0,$$

$$4x+\frac{\pi}{8}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{4}.$$

Или

$$\sin\left(9x-\frac{\pi}{8}\right)=0,$$

$$9x-\frac{\pi}{8}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{9}.$$

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{4},\quad x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{9},\quad n\in\mathbb{Z}.$$