Упр.31.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos 4x/3 = cos2 x; 6) 32 cos6 x — cos 6x = 1.

а) $$\cos \frac{4x}{3}=\cos^2 x.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и представим левую часть через $$\cos \frac{2x}{3}$$:

$$ 2\cos \frac{4x}{3}=2\cos^2 x $$
$$ 2\left(2\cos^2 \frac{2x}{3}-1\right)=1+\cos 2x $$
$$ 2\left(2\cos^2 \frac{2x}{3}-1\right)=1+\cos \left(3\cdot \frac{2x}{3}\right) $$
$$ 4\cos^2 \frac{2x}{3}-2=1+\left(4\cos^3 \frac{2x}{3}-3\cos \frac{2x}{3}\right) $$

Положим $$y=\cos \frac{2x}{3}$$. Тогда получаем:

$$ 4y^2-2=1+(4y^3-3y) $$
$$ 4y^3-4y^2-3y+3=0 $$
$$ (4y^2-3)(y-1)=0 $$

Отсюда:

$$ y=1 \quad \text{или} \quad y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$

1) Если $$\cos \frac{2x}{3}=1$$, то

$$ \frac{2x}{3}=2\pi n,\quad x=3\pi n $$

2) Если $$\cos \frac{2x}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то

$$ \frac{2x}{3}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2} $$

3) Если $$\cos \frac{2x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то

$$ \frac{2x}{3}=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{5\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2} $$

б) $$32\cos^6 x-\cos 6x=1.$$

Преобразуем по формуле $$\cos 6x=4\cos^3 2x-3\cos 2x$$ и положим $$y=\cos 2x$$:

$$ 32\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^3-\left(4\cos^3 2x-3\cos 2x\right)=1 $$
$$ 4(1+y)^3-4y^3+3y=1 $$
$$ 4+12y+12y^2+4y^3-4y^3+3y-1=0 $$
$$ 12y^2+15y+3=0 $$
$$ 4y^2+5y+1=0 $$
$$ (4y+1)(y+1)=0 $$

Следовательно,

$$ y=-1 \quad \text{или} \quad y=-\frac14 $$

1) Если $$\cos 2x=-1$$, то

$$ 2x=\pi+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

2) Если $$\cos 2x=-\frac14$$, то

$$ 2x=\pm \arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n,\quad x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n $$

Ответ

а) $$x=3\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\; x=\pm \frac{5\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$