Упр.31.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 2(1 — sin x — cos x) + tg x + ctg x = 0.

Преобразуем уравнение:

$$2(1-\sin x-\cos x)+\tg x+\ctg x=0.$$

Так как

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x},$$

то получаем

$$2-2(\sin x+\cos x)+\frac{1}{\sin x\cos x}=0.$$

Введём обозначение $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$\sin x\cos x=\frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим:

$$2-2y+\frac{2}{y^2-1}=0.$$

Умножим на $$y^2-1$$:

$$2(y^2-1)-2y(y^2-1)+2=0,$$

$$2y^2-2-2y^3+2y+2=0,$$

$$y^3-y^2-y=0,$$

$$y(y^2-y-1)=0.$$

Отсюда:

$$y=0,$$

или

$$y^2-y-1=0.$$

1) Если $$y=0,$$ то

$$\sin x+\cos x=0,$$

$$\tg x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$y^2-y-1=0,$$ то

$$y=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

Значение $$\frac{1+\sqrt5}{2}> \sqrt2,$$ поэтому оно не подходит, так как $$\sin x+\cos x\le \sqrt2.$$

Остаётся

$$\sin x+\cos x=\frac{1-\sqrt5}{2}.$$

Представим левую часть в виде:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\sqrt5}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \arccos\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{\sqrt2-\sqrt{10}}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$