Упр.31.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Применив подстановку у = cos х — sin х, решите уравнение 4 — 4(cos х — sin х) = sin 2х.

Положим $$y=\cos x-\sin x.$$ Тогда

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$

а также

$$y^2=(\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x=1-\sin 2x.$$

Из уравнения

$$4-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x$$

получаем

$$4-4y=1-y^2,$$

то есть

$$y^2-4y+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=16-12=4,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2},$$

откуда

$$y_1=1,\qquad y_2=3.$$

Теперь рассмотрим оба случая.

1) $$\cos x-\sin x=1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x-\sin x=3.$$

Но $$\cos x-\sin x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ поэтому это уравнение решений не имеет.

Ответ

$$x=2\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$