Упр.31.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin х sin 5х = cos 4х; б) cos х cos 5х = cos 6x.

1. а) Используем формулу произведения в сумму:

   $$\sin x \sin 5x=\frac{\cos(x-5x)-\cos(x+5x)}{2}=\frac{\cos 4x-\cos 6x}{2}.$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$\frac{\cos 4x-\cos 6x}{2}=\cos 4x.$$

   Умножим на $2$:

   $$\cos 4x-\cos 6x=2\cos 4x,$$

   $$\cos 4x+\cos 6x=0.$$

   Применим формулу суммы косинусов:

   $$2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{4x-6x}{2}=0,$$

   $$2\cos 5x\cos x=0.$$

   Отсюда

   $$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

   1) $$\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}=\frac{\pi(1+2n)}{10}.$$

   2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Но эти значения входят в найденную общую формулу при подходящих целых $n$, поэтому окончательно:

   $$x=\frac{\pi(1+2n)}{10},\; n\in\mathbb Z.$$

2. б) Используем формулу произведения в сумму:

   $$\cos x \cos 5x=\frac{\cos(5x+x)+\cos(5x-x)}{2}=\frac{\cos 6x+\cos 4x}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{\cos 6x+\cos 4x}{2}=\cos 6x.$$

   Умножим на $2$:

   $$\cos 6x+\cos 4x=2\cos 6x,$$

   $$\cos 4x-\cos 6x=0.$$

   Применим формулу разности косинусов:

   $$-2\sin\frac{4x+6x}{2}\sin\frac{4x-6x}{2}=0,$$

   $$-2\sin 5x\sin x=0.$$

   Отсюда

   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

   1) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi n}{5}.$$

   2) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   что также входит в формулу $x=\dfrac{\pi n}{5}$ при $n$, кратных $5$.

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi(1+2n)}{10},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$