Упр.31.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: sin 2x + tg x = 2.

Используем формулу

$$\sin 2x=\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}+\tg x=2.$$

Введём замену $$t=\tg x$$. Получим

$$\frac{2t}{1+t^2}+t=2.$$

Умножим на $$1+t^2$$:

$$2t+t(1+t^2)=2(1+t^2).$$

После преобразований:

$$2t+t+t^3=2+2t^2,$$

$$t^3-2t^2+3t-2=0.$$

Разложим на множители:

$$t^3-2t^2+3t-2=(t-1)(t^2-t+2).$$

Тогда

$$t-1=0 \quad \text{или} \quad t^2-t+2=0.$$

Из первого уравнения:

$$t=1,$$

то есть

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Во втором случае

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0,$$

действительных корней нет.

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$