Упр.31.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 3 sin 2х + cos 2х = 2; б) cos 4х + 2 sin 4х = 1.

а) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$ \sin 2x=\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}=\frac{2y}{1+y^2}, \qquad \cos 2x=\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\frac{1-y^2}{1+y^2}. $$

Подставим в уравнение:

$$ 3\cdot \frac{2y}{1+y^2}+\frac{1-y^2}{1+y^2}=2. $$

$$ 6y+1-y^2=2(1+y^2) $$
$$ 3y^2-6y+1=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 1=36-12=24, $$
$$ y=\frac{6\pm \sqrt{24}}{6}=\frac{6\pm 2\sqrt6}{6}=\frac{3\pm \sqrt6}{3}. $$

Значит,

$$ \tg x=\frac{3\pm \sqrt6}{3}, $$
$$ x=\arctg \frac{3\pm \sqrt6}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

Проверка показывает, что оба семейства решений подходят.

б) Преобразуем уравнение:

$$ \cos 4x+2\sin 4x=1. $$

Используем формулы двойного угла:

$$ \cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x,\qquad \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x. $$

Тогда

$$ \cos^2 2x-\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=1. $$

Перенесём $1$ в левую часть и учтём, что $$1=\sin^2 2x+\cos^2 2x$$:

$$ \cos^2 2x-\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x-\sin^2 2x-\cos^2 2x=0, $$
$$ -2\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=0. $$

Вынесем общий множитель:

$$ 2\sin 2x\,(2\cos 2x-\sin 2x)=0. $$

Отсюда:

$$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-\sin 2x=0. $$

1) Если $$\sin 2x=0,$$ то

$$ 2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z. $$

2) Если $$2\cos 2x-\sin 2x=0,$$ то

$$ \tg 2x=2, $$
$$ 2x=\arctg 2+\pi n, $$
$$ x=\frac12 \arctg 2+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\arctg \frac{3-\sqrt6}{3}+\pi n,\; x=\arctg \frac{3+\sqrt6}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac12 \arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$