Упр.31.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение 2 sin х — 3 cos х = 3 двумя способами: a) с помощью универсальной подстановки u = tg x/2 б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента x/2.

а) Универсальная подстановка

Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}.$$

Подставим в уравнение:

$$2\cdot \frac{2u}{1+u^2}-3\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=3.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$4u-3(1-u^2)=3(1+u^2).$$

$$4u-3+3u^2=3+3u^2.$$

$$4u=6,$$

$$u=\frac{3}{2}.$$

Значит,

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{3}{2},$$

откуда

$$\frac{x}{2}=\arctg \frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=2\arctg \frac{3}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Проверим случай, когда подстановка не определена: $$\cos \frac{x}{2}=0.$$ Тогда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n.$$

Проверка:

$$2\sin(\pi+2\pi n)-3\cos(\pi+2\pi n)=2\cdot 0-3\cdot(-1)=3.$$

Этот корень подходит.

б) Сведение к однородному уравнению второй степени

Используем формулы половинного аргумента:

$$2\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-3\left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=3\left(\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}\right).$$

После преобразований получаем:

$$6\cos^2 \frac{x}{2}-4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0.$$

Если $$\cos \frac{x}{2}\neq 0,$$ то делим на $$\cos^2 \frac{x}{2}:$$

$$6-4\tg \frac{x}{2}=0,$$

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{3}{2}.$$

Отсюда

$$x=2\arctg \frac{3}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Если $$\cos \frac{x}{2}=0,$$ то

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n.$$

Это решение также подходит.

Ответ

$$x=\pi+2\pi n,\quad x=2\arctg \frac{3}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$