Упр.31.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: tg x + ctg x = 3 + cos 4x.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sin x\cos x}=3+\cos 4x.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и тождество $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1=1-2\sin^2 2x.$$ Получаем:

$$\frac{1}{\sin x\cos x}=2+2\cos^2 2x=2+2(1-\sin^2 2x)=4-2\sin^2 2x.$$

Так как $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x,$$ то

$$\frac{2}{\sin 2x}=4-2\sin^2 2x.$$

Положим $$y=\sin 2x$$. Тогда

$$\frac{2}{y}=4-2y^2,$$

$$2=4y-2y^3,$$

$$2y^3-4y+2=0,$$

$$y^3-2y+1=0.$$

Разложим на множители:

$$y^3-2y+1=(y-1)(y^2+y-1)=0.$$

Отсюда:

$$y_1=1,\qquad y_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$.

1) Если $$\sin 2x=1,$$ то

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin 2x=\frac{\sqrt5-1}{2},$$ то

$$2x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

3) Значение $$\sin 2x=\frac{-1-\sqrt5}{2}$$ не подходит, так как оно меньше $$-1$$.

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$