Упр.31.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 2 sin3 x — cos 2x = sin x.

Преобразуем уравнение, используя формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$ 2\sin^3 x-\cos 2x=\sin x $$

$$ 2\sin^3 x-(1-2\sin^2 x)=\sin x $$

$$ 2\sin^3 x+2\sin^2 x-1-\sin x=0 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 2\sin^2 x(\sin x+1)-(\sin x+1)=0 $$

$$ (\sin x+1)(2\sin^2 x-1)=0 $$

Отсюда получаем два уравнения:

$$ \sin x+1=0 $$

или

$$ 2\sin^2 x-1=0 $$

1) $$\sin x=-1$$, значит

$$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$2\sin^2 x-1=0$$, тогда

$$ \sin^2 x=\frac12 $$

$$ \sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2} $$

Отсюда

$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

Оба семейства решений входят в ответ.

Ответ

$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$