Упр.31.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos 4х + 5 cos2 х = 0,75; б) cos 4х + 3 sin2 х = 0,25.

а) $$\cos 4x+5\cos^2 x=0{,}75.$$

Используем формулы $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$ и $$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}.$$ Тогда

$$2\cos^2 2x-1+5\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac34,$$
$$2\cos^2 2x-1+\frac52+\frac52\cos 2x=\frac34,$$
$$2\cos^2 2x+\frac52\cos 2x+\frac34=0.$$

Умножим на $$4$$:

$$8\cos^2 2x+10\cos 2x+3=0.$$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$8y^2+10y+3=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 8\cdot 3=100-96=4,$$
$$y_{1,2}=\frac{-10\pm 2}{16}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac34,\qquad y_2=-\frac12.$$

Значит,

$$\cos 2x=-\frac34 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm \arccos\!\left(-\frac34\right)+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac12\arccos\!\left(-\frac34\right)+\pi n,$$

или

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,$$
$$n\in \mathbb Z.$$

б) $$\cos 4x+3\sin^2 x=0{,}25.$$

Используем формулы $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$ и $$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}.$$ Тогда

$$2\cos^2 2x-1+3\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac14,$$
$$2\cos^2 2x-1+\frac32-\frac32\cos 2x=\frac14,$$
$$2\cos^2 2x-\frac32\cos 2x+\frac14=0.$$

Умножим на $$4$$:

$$8\cos^2 2x-6\cos 2x+1=0.$$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$8y^2-6y+1=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 8\cdot 1=36-32=4,$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{16}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac14.$$

Значит,

$$\cos 2x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac14.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,$$

или

$$2x=\pm \arccos\!\left(\frac14\right)+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac12\arccos\!\left(\frac14\right)+\pi n,$$
$$n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac12\arccos\!\left(-\frac34\right)+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
б) $$x=\pm \frac12\arccos\!\left(\frac14\right)+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$