Упр.31.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: cos4 x + sin4 x — sin 2x + 3/4 sin2 2x = 0.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу $$\cos^4 x+\sin^4 x=(\cos^2 x+\sin^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$ Тогда

$$ \cos^4 x+\sin^4 x-\sin 2x+\frac34\sin^2 2x=0 $$
$$ (\cos^2 x+\sin^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x-\sin 2x+\frac34\sin^2 2x=0 $$
$$ 1-\frac12\sin^2 2x-\sin 2x+\frac34\sin^2 2x=0 $$
$$ \frac14\sin^2 2x-\sin 2x+1=0. $$

Положим $$y=\sin 2x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$ \frac14y^2-y+1=0 $$
$$ y^2-4y+4=0 $$
$$ (y-2)^2=0. $$

Отсюда $$y=2,$$ то есть $$\sin 2x=2.$$ Но значение синуса не может быть больше $$1$$ по модулю, значит, решений нет.

Ответ

$$\varnothing$$