Упр.31.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 4 cos3 x/2 + 3корень2 sin х = 8 cos x/2; б) 7/4cos x/4 = cos3 x/4 + sin x/2.

Подробный ответ

а)

$$4\cos^3\frac{x}{2}+3\sqrt2\sin x=8\cos\frac{x}{2}$$
$$4\cos^3\frac{x}{2}+6\sqrt2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-8\cos\frac{x}{2}=0$$
$$2\cos\frac{x}{2}\left(2\cos^2\frac{x}{2}+3\sqrt2\sin\frac{x}{2}-4\right)=0$$

1) $$\cos\frac{x}{2}=0$$, тогда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pi+2\pi n$$

2) Пусть $$y=\sin\frac{x}{2}$$. Тогда

$$2-2y^2+3\sqrt2\,y-4=0$$
$$2y^2-3\sqrt2\,y+2=0$$
$$D=(3\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot2=18-16=2$$
$$y_{1,2}=\frac{3\sqrt2\pm\sqrt2}{4}$$
$$y_1=\frac{\sqrt2}{2},\quad y_2=\sqrt2$$

Значение $$y_2=\sqrt2$$ не подходит, так как $$\sin\frac{x}{2}\le 1$$. Поэтому

$$\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\frac{x}{2}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

б)

$$\frac{7}{4}\cos\frac{x}{4}=\cos^3\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{2}$$
$$\cos^3\frac{x}{4}+2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}-\frac{7}{4}\cos\frac{x}{4}=0$$
$$\frac14\cos\frac{x}{4}\left(4\cos^2\frac{x}{4}+8\sin\frac{x}{4}-7\right)=0$$

1) $$\cos\frac{x}{4}=0$$, тогда

$$\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=2\pi+4\pi n$$

2) Пусть $$y=\sin\frac{x}{4}$$. Тогда

$$4-4y^2+8y-7=0$$
$$4y^2-8y+3=0$$
$$D=8^2-4\cdot4\cdot3=64-48=16$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm4}{8}$$
$$y_1=\frac12,\quad y_2=\frac32$$

Значение $$y_2=\frac32$$ не подходит, так как $$\sin\frac{x}{4}\le 1$$. Поэтому

$$\sin\frac{x}{4}=\frac12$$
$$\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n$$