Упр.31.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3|cos х| + 2 cos х = 5|sin х| — 3 sin х; б) 7|cos x| — 4 cos х = 3|sin x| + 2 sin x.

а) Рассмотрим случаи по четвертям.

1. Если $$x$$ лежит в I четверти, то $$|\cos x|=\cos x$$, $$|\sin x|=\sin x$$. Тогда

   $$3\cos x+2\cos x=5\sin x-3\sin x,$$

   $$5\cos x=2\sin x,$$

   $$2\tan x=5,$$

   $$\tan x=\frac{5}{2},$$

   $$x=\arctan\frac{5}{2}+2\pi n.$$

2. Если $$x$$ лежит во II четверти, то $$|\cos x|=-\cos x$$, $$|\sin x|=\sin x$$. Тогда

   $$-3\cos x+2\cos x=5\sin x-3\sin x,$$

   $$-\cos x=2\sin x,$$

   $$2\tan x=-1,$$

   $$\tan x=-\frac{1}{2},$$

   $$x=\pi-\arctan\frac{1}{2}+2\pi n.$$

3. Если $$x$$ лежит в III четверти, то $$|\cos x|=-\cos x$$, $$|\sin x|=-\sin x$$. Тогда

   $$-3\cos x+2\cos x=-5\sin x-3\sin x,$$

   $$-\cos x=-8\sin x,$$

   $$8\tan x=1,$$

   $$\tan x=\frac{1}{8},$$

   $$x=\pi+\arctan\frac{1}{8}+2\pi n.$$

4. Если $$x$$ лежит в IV четверти, то $$|\cos x|=\cos x$$, $$|\sin x|=-\sin x$$. Тогда

   $$3\cos x+2\cos x=-5\sin x-3\sin x,$$

   $$5\cos x=-8\sin x,$$

   $$8\tan x=-5,$$

   $$\tan x=-\frac{5}{8},$$

   $$x=-\arctan\frac{5}{8}+2\pi n.$$

б) Аналогично рассмотрим четыре четверти.

1. Если $$x$$ лежит в I четверти, то $$|\cos x|=\cos x$$, $$|\sin x|=\sin x$$. Тогда

   $$7\cos x-4\cos x=3\sin x+2\sin x,$$

   $$3\cos x=5\sin x,$$

   $$5\tan x=3,$$

   $$\tan x=\frac{3}{5},$$

   $$x=\arctan\frac{3}{5}+2\pi n.$$

2. Если $$x$$ лежит во II четверти, то $$|\cos x|=-\cos x$$, $$|\sin x|=\sin x$$. Тогда

   $$-7\cos x-4\cos x=3\sin x+2\sin x,$$

   $$-11\cos x=5\sin x,$$

   $$5\tan x=-11,$$

   $$\tan x=-\frac{11}{5},$$

   $$x=\pi-\arctan\frac{11}{5}+2\pi n.$$

3. Если $$x$$ лежит в III четверти, то $$|\cos x|=-\cos x$$, $$|\sin x|=-\sin x$$. Тогда

   $$-7\cos x-4\cos x=-3\sin x+2\sin x,$$

   $$-11\cos x=-\sin x,$$

   $$\tan x=11,$$

   $$x=\pi+\arctan 11+2\pi n.$$

4. Если $$x$$ лежит в IV четверти, то $$|\cos x|=\cos x$$, $$|\sin x|=-\sin x$$. Тогда

   $$7\cos x-4\cos x=-3\sin x+2\sin x,$$

   $$3\cos x=-5\sin x,$$

   $$\tan x=-\frac{3}{5},$$

   $$x=-\arctan\frac{3}{5}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\arctan\frac{5}{2}+2\pi n;\ \pi-\arctan\frac{1}{2}+2\pi n;\ \pi+\arctan\frac{1}{8}+2\pi n;\ -\arctan\frac{5}{8}+2\pi n.$$
б) $$x=\arctan\frac{3}{5}+2\pi n;\ \pi-\arctan\frac{11}{5}+2\pi n;\ \pi+\arctan 11+2\pi n;\ -\arctan\frac{3}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$