Упр.31.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 5 sin 3x + 2 sin x = 0; 6) 7 cos 3x — 3 cos x = 0.

а) $$5\sin 3x+2\sin x=0.$$

Используем формулу $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$:

$$5(3\sin x-4\sin^3 x)+2\sin x=0$$
$$15\sin x-20\sin^3 x+2\sin x=0$$
$$17\sin x-20\sin^3 x=0$$
$$\sin x(17-20\sin^2 x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 17-20\sin^2 x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$17-20\sin^2 x=0 \Rightarrow \sin^2 x=\frac{17}{20},$$

$$\sin x=\pm \sqrt{\frac{17}{20}}.$$

Тогда

$$x=\pm \arcsin \sqrt{\frac{17}{20}}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$7\cos 3x-3\cos x=0.$$

Используем формулу $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$$:

$$7(4\cos^3 x-3\cos x)-3\cos x=0$$
$$28\cos^3 x-24\cos x=0$$
$$4\cos x(7\cos^2 x-6)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 7\cos^2 x-6=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$7\cos^2 x-6=0 \Rightarrow \cos^2 x=\frac{6}{7},$$

$$\cos x=\pm \sqrt{\frac{6}{7}}.$$

Тогда

$$x=\pm \arccos \sqrt{\frac{6}{7}}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=\pm \arcsin \sqrt{\frac{17}{20}}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \arccos \sqrt{\frac{6}{7}}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$