Упр.31.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin (х — 1) = cos (х + 2); б) sin (3x + 3) = cos (х — 1).

а) $$\sin(x-1)=\cos(x+2)$$

Заменим косинус через синус:

$$\cos(x+2)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right).$$

Тогда

$$\sin(x-1)-\sin\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right)=0.$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\left(\frac{(x-1)+\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right)}{2}\right)\sin\left(\frac{(x-1)-\left(\frac{\pi}{2}+x+2\right)}{2}\right)=0.$$

Получаем

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}+\frac12\right)\sin\left(-\frac{\pi}{4}-\frac32\right)=0.$$

Так как $$\sin\left(-\frac{\pi}{4}-\frac32\right)\neq 0,$$ то

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}+\frac12\right)=0.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}+\frac12=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}-\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin(3x+3)=\cos(x-1)$$

Заменим косинус через синус:

$$\cos(x-1)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right).$$

Тогда

$$\sin(3x+3)-\sin\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right)=0.$$

По формуле разности синусов:

$$2\cos\left(\frac{(3x+3)+\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right)}{2}\right)\sin\left(\frac{(3x+3)-\left(\frac{\pi}{2}+x-1\right)}{2}\right)=0.$$

Получаем

$$2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}+1\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}+2\right)=0.$$

Отсюда два случая:

1) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}+2\right)=0,$$

$$x-\frac{\pi}{4}+2=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}-2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}+1\right)=0,$$

$$2x+\frac{\pi}{4}+1=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$2x=\frac{\pi}{4}-1+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{8}-\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}-\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}-2+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}-\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$