Упр.30.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) у = корень2 (sin х + cos х); б) у = корень3 sin х + cos х; в) у = sin х — корень3 cos х; г) у = sin х — cos х.

Представим каждую функцию в виде $$y=A\sin(x+\varphi)$$ или $$y=A\sin(x-\varphi)$$, используя формулу

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi),$$

где $$\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad \sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

1. $$y=\sqrt2(\sin x+\cos x)$$

   $$\sqrt2(\sin x+\cos x)=\sqrt2\cdot \sqrt{1+1}\,\sin\!\left(x+\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+1}}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть влево на $$\frac{\pi}{4}$$ и растянуть по оси $$Oy$$ в 2 раза.

2. $$y=\sqrt3\sin x+\cos x$$

   $$\sqrt3\sin x+\cos x=\sqrt{3+1}\,\sin\!\left(x+\arcsin\frac{1}{\sqrt{3+1}}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть влево на $$\frac{\pi}{6}$$ и растянуть по оси $$Oy$$ в 2 раза.

3. $$y=\sin x-\sqrt3\cos x$$

   $$\sin x-\sqrt3\cos x=\sqrt{1+3}\,\sin\!\left(x-\arcsin\frac{\sqrt3}{\sqrt{1+3}}\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и растянуть по оси $$Oy$$ в 2 раза.

4. $$y=\sin x-\cos x$$

   $$\sin x-\cos x=\sqrt{1+1}\,\sin\!\left(x-\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+1}}\right)=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно сдвинуть вправо на $$\frac{\pi}{4}$$ и растянуть по оси $$Oy$$ в $$\sqrt2$$ раза.

Ответ

а) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$;
б) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$;
в) $$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$;
г) $$y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$.