Упр.30.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Существуют ли значения х, при которых выполняется равенство: a) sin 5х + cos 5х = 1,5; б) 3 sin 2х — 4 cos 2х = корень26; в) sin 7х — корень3 cos 7х = пи/2; г) 5 sin х + 12 cos х = корень170?

1. $$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\sin\left(5x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Так как $$\left|\sqrt{2}\sin\left(5x+\frac{\pi}{4}\right)\right|\le \sqrt{2},$$ а $$\sqrt{2}<1{,}5,$$ то равенство невозможно.

   Следовательно, решений нет.

2. $$3\sin 2x-4\cos 2x=5\sin(2x-\varphi),$$

   где $$5=\sqrt{3^2+4^2}.$$ Тогда

   $$\left|3\sin 2x-4\cos 2x\right|\le 5.$$

   Но $$\sqrt{26}>5,$$ значит, равенство невозможно.

   Следовательно, решений нет.

3. $$\sin 7x-\sqrt{3}\cos 7x=2\sin\left(7x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда левая часть принимает значения из промежутка $$[-2;2].$$

   Так как $$\frac{\pi}{2}<2,$$ то значение $$\frac{\pi}{2}$$ входит в этот промежуток.

   Следовательно, решения существуют.

4. $$5\sin x+12\cos x=13\sin(x+\alpha),$$

   где $$13=\sqrt{5^2+12^2}.$$ Значит,

   $$\left|5\sin x+12\cos x\right|\le 13.$$

   Но $$\sqrt{170}>13,$$ поэтому равенство невозможно.

   Следовательно, решений нет.

Ответ

а) нет; б) нет; в) да; г) нет.