Упр.30.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: a) у = 3 sin 2х — 4 cos 2х; б) у = 5 cos 3х + 12 sin 3х; в) у = 7 sin х/2 + 24 cos х/2; г) у = 8 cos х/3 — 15 sin х/3.

Используем формулу приведения линейной комбинации синуса и косинуса к одной тригонометрической функции:

$$a\sin t+b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(t+\varphi)$$

или

$$a\cos t+b\sin t=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(t+\varphi).$$

Так как $$-1\le \sin(\,\cdot\,)\le 1,$$ то область значений такой функции равна $$\left[-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}\right].$$

1. $$y=3\sin 2x-4\cos 2x$$

   $$\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5,$$

   значит,

   $$y\in[-5;5].$$

2. $$y=5\cos 3x+12\sin 3x$$

   $$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13,$$

   следовательно,

   $$y\in[-13;13].$$

3. $$y=7\sin \frac{x}{2}+24\cos \frac{x}{2}$$

   $$\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25,$$

   поэтому

   $$y\in[-25;25].$$

4. $$y=8\cos \frac{x}{3}-15\sin \frac{x}{3}$$

   $$\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=17,$$

   значит,

   $$y\in[-17;17].$$

Ответ

а) $$[-5;5]$$; б) $$[-13;13]$$; в) $$[-25;25]$$; г) $$[-17;17]$$.