Упр.30.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: a) у = корень3 sin x+ cos х; б) у = sin х — корень3 cos х; в) у = sin х — cos х; г) у = корень6 sin х — корень2 cos х.
$$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$
Представим в виде одной синусоиды:
$$y=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}\,\sin\left(x+\varphi\right)=2\sin\left(x+\varphi\right).$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac{1}{2},$$
то $$\varphi=\frac{\pi}{6}.$$ Следовательно,
$$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$
Поскольку $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ получаем
$$-2\le y\le 2.$$
$$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$
Аналогично:
$$y=\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}\,\sin\left(x-\varphi\right)=2\sin\left(x-\varphi\right).$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{1}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
то $$\varphi=\frac{\pi}{3}.$$ Значит,
$$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$
Отсюда
$$-2\le y\le 2.$$
$$y=\sin x-\cos x$$
Запишем в виде одной синусоиды:
$$y=\sqrt{1^2+1^2}\,\sin\left(x-\varphi\right)=\sqrt{2}\sin\left(x-\varphi\right).$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}},$$
то $$\varphi=\frac{\pi}{4}.$$ Тогда
$$y=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Следовательно,
$$-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}.$$
$$y=\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x$$
Представим функцию в виде одной синусоиды:
$$y=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2}\,\sin\left(x-\varphi\right)=2\sqrt{2}\sin\left(x-\varphi\right).$$
Так как
$$\cos\varphi=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2},$$
то $$\varphi=\frac{\pi}{6}.$$ Значит,
$$y=2\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$
Отсюда
$$-2\sqrt{2}\le y\le 2\sqrt{2}.$$
Ответ
а) $$-2; 2$$; б) $$-2; 2$$; в) $$-\sqrt{2}; \sqrt{2}$$; г) $$-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}$$.
