Упр.30.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) (sin 38° — cos 38°) / корень2 sin 7°; б) (sin 377° — корень3 cos 17°) / cos 407°; в) (sin 17° + корень3 cos 17°) / 2cos 347°; г) (sin 752° + cos 328°) / корень2 sin 437°.

Подробный ответ

а) $$\frac{\sin 38^\circ-\cos 38^\circ}{\sqrt2\sin 7^\circ}$$

Используем формулу
$$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-45^\circ).$$
Тогда
$$\frac{\sin 38^\circ-\cos 38^\circ}{\sqrt2\sin 7^\circ} =\frac{\sqrt2\sin(38^\circ-45^\circ)}{\sqrt2\sin 7^\circ} =\frac{\sin(-7^\circ)}{\sin 7^\circ} =-1.$$
б) $$\frac{\sin 377^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ}{\cos 407^\circ}$$

Приведём углы:
$$\sin 377^\circ=\sin 17^\circ,\qquad \cos 407^\circ=\cos 47^\circ.$$
Тогда
$$\frac{\sin 377^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ}{\cos 407^\circ} =\frac{\sin 17^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ}{\cos 47^\circ}.$$
Представим числитель в виде одной синусоиды:
$$\sin 17^\circ-\sqrt3\cos 17^\circ=-2\cos(17^\circ+30^\circ)=-2\cos 47^\circ.$$
Значит,
$$\frac{-2\cos 47^\circ}{\cos 47^\circ}=-2.$$
в) $$\frac{\sin 17^\circ+\sqrt3\cos 17^\circ}{2\cos 347^\circ}$$

Так как $$\cos 347^\circ=\cos(-13^\circ)=\cos 13^\circ,$$ то
$$\frac{\sin 17^\circ+\sqrt3\cos 17^\circ}{2\cos 347^\circ} =\frac{\sin 17^\circ+\sqrt3\cos 17^\circ}{2\cos 13^\circ}.$$
Числитель преобразуем:
$$\sin 17^\circ+\sqrt3\cos 17^\circ=2\cos(17^\circ-30^\circ)=2\cos(-13^\circ)=2\cos 13^\circ.$$
Тогда
$$\frac{2\cos 13^\circ}{2\cos 13^\circ}=1.$$
г) $$\frac{\sin 752^\circ+\cos 328^\circ}{\sqrt2\sin 437^\circ}$$

Сведём углы:
$$\sin 752^\circ=\sin 32^\circ,\qquad \cos 328^\circ=\cos 32^\circ,\qquad \sin 437^\circ=\sin 77^\circ.$$
Тогда
$$\frac{\sin 752^\circ+\cos 328^\circ}{\sqrt2\sin 437^\circ} =\frac{\sin 32^\circ+\cos 32^\circ}{\sqrt2\sin 77^\circ}.$$
Используем формулу
$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+45^\circ).$$
Получаем
$$\frac{\sqrt2\sin(32^\circ+45^\circ)}{\sqrt2\sin 77^\circ} =\frac{\sin 77^\circ}{\sin 77^\circ}=1.$$