Упр.30.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Преобразуйте сумму в произведение: a) sin t + cos t + 5 cos (t + пи/4); 6) sin t — cos t + корень34 cos (пи/4 — t).

а) Представим сумму первых двух слагаемых в виде одной синусоиды:

$$\sin t+\cos t=\sqrt2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sin t+\cos t+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Снова сведём сумму к произведению:

$$ \sqrt2\sin x+5\cos x=\sqrt{2+25}\,\sin(x+\varphi), $$
где
$$ \cos\varphi=\frac{\sqrt2}{\sqrt{27}}=\frac{\sqrt6}{9},\qquad \sin\varphi=\frac{5}{\sqrt{27}}=\frac{5\sqrt3}{9}. $$

Значит,

$$\sin t+\cos t+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=3\sqrt3\sin\left(t+\frac{\pi}{4}+\varphi\right),$$
$$\varphi=\arcsin\frac{5\sqrt3}{9}.$$

Итак,

$$\sin t+\cos t+5\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=3\sqrt3\sin\left(t+\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{5\sqrt3}{9}\right).$$

б) Аналогично:

$$\sin t-\cos t=\sqrt2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sin t-\cos t+\sqrt{34}\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\sqrt2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{34}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Пусть

$$ \sqrt2\sin x+\sqrt{34}\cos x=\sqrt{2+34}\,\sin(x+\psi)=6\sin(x+\psi). $$

Тогда

$$ \cos\psi=\frac{\sqrt2}{6},\qquad \sin\psi=\frac{\sqrt{34}}{6}, $$
следовательно,
$$ \psi=\arcsin\frac{\sqrt{34}}{6}. $$

Получаем

$$\sin t-\cos t+\sqrt{34}\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=6\sin\left(t-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{\sqrt{34}}{6}\right).$$

Ответ

$$ \text{а) }3\sqrt3\sin\left(t+\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{5\sqrt3}{9}\right); \qquad \text{б) }6\sin\left(t-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{\sqrt{34}}{6}\right). $$