Упр.30.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) sin х + cos х + корень2 = 2корень2 cos2 (x/2 — пи/8); б) cos 2х — sin 2х — корень2 = — 2корень2 sin2 (x + пи/8).

а) Используем формулу суммы косинусов:

$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}. $$

Тогда

$$ \sin x+\cos x+\sqrt2 = \sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x\right)+\sqrt2 = \sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}\sin x+\cos\frac{\pi}{4}\cos x\right)+\sqrt2. $$

$$ = \sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt2 = \sqrt2\left(\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right). $$

Применим формулу

$$ 1+\cos t = 2\cos^2\frac{t}{2}. $$

$$ \sqrt2\left(\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right) = 2\sqrt2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right). $$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$ \cos 2x-\sin 2x-\sqrt2 = -\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin 2x-\frac{1}{\sqrt2}\cos 2x+1\right). $$

Заметим, что

$$ \frac{1}{\sqrt2}\sin 2x-\frac{1}{\sqrt2}\cos 2x = \sin\frac{\pi}{4}\sin 2x-\cos\frac{\pi}{4}\cos 2x = -\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right). $$

Тогда

$$ \cos 2x-\sin 2x-\sqrt2 = -\sqrt2\left(1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\right). $$

Используем формулу

$$ 1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}. $$

$$ -\sqrt2\left(1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\right) = -2\sqrt2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right). $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \sin x+\cos x+\sqrt2=2\sqrt2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right), $$
$$ \cos 2x-\sin 2x-\sqrt2=-2\sqrt2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right). $$